Question

12．如图，已知在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，求证：AC²=AD²+AB•DC．

Answer 1

分析 作出等腰梯形的两条高，将等腰梯形分成两个全等的直角三角形和一个矩形，用勾股定理和等量代换即可．

解答 解：如图，

过点A，B作AE⊥CD，BF⊥CD，
∴四边形AEFB是矩形，
∴AB=EF，
在Rt△AED和Rt△BFC中$\left\{\begin{array}{l}{AE=BF}\\{AD=BC}\end{array}\right.$，
∴Rt△AED≌Rt△BFC，
∴DE=CF，
在Rt△ADE中，AD²=AE²+DE²，
在Rt△ACE中，AC²=AE²+CE²，
∴AC²-AD²=CE²-DE²
=（EF+CF）²-DE²
=（AB+DE）²-DE²
=AB²+DE²+2AB×DE-DE²
=AB²+2AB×DE
=AB（AB+2DE）
=AB（EF+DE+CF）
=AB×CD，
∴AC²=AD²+AB•DC

点评 此题是等腰梯形的性质，主要考查了等腰梯形中常作的辅助线的方法，勾股定理，解本题的关键是构造直角三角形，难点是作出辅助线．