Question

抛物线y=ax²+bx+c经过原点，其顶点坐标为（1，

1

3

），与x轴交于另一点A．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）将直线y=

1

2

x向下平移与抛物线交于EF两点，若∠EOF=90°，求平移后的直线解析式．

Answer 1

考点：二次函数图象与几何变换,待定系数法求二次函数解析式

专题：

分析：（1）设顶点式y=a（x-1）²+

1

3

，然后把原点坐标代入求出a即可；
（2）设E（x₁，y₁），（x₂，y₂），利用勾股定理和两点间的距离公式得到x₁²+y₁²+x₂²+y₂²=（x₂-x₁）²+（y₂-y₁）²，整理得到x₁x₂+y₁y₂=0，再根据一次函数图象的平移问题得到直线y=

1

2

x向下平移n个单位后的解析式为y=

1

2

x+n，则根据二次函数图象与异次函数图象的交点问题得到

y= 1 2 x+n y=- 1 3 x2+ 2 3 x

，消去y得-

1

3

x²+

2

3

x=

1

2

x+n，整理得2x²-x+6n=0，利用根与系数的关系得到x₁+x₂=

1

2

，x₁x₂=3n，接着用n表示y₁y₂，然后利用x₁x₂+y₁y₂=0得到关于n的一元二次方程，再解方程即可得到n的值．

解答：解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（1，

1

3

），
∴抛物线解析式为y=a（x-1）²+

1

3

把（0，0）代入a=-

1

3

，
∴抛物线解析式为y=-

1

3

x²+

2

3

x；
（2）设E（x₁，y₁），（x₂，y₂），
∵∠EOF=90°，
∴OE²+OF²=EF²，
∴x₁²+y₁²+x₂²+y₂²=（x₂-x₁）²+（y₂-y₁）²，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
直线y=

1

2

x向下平移n个单位后的解析式为y=

1

2

x+n，
由方程组

y= 1 2 x+n y=- 1 3 x2+ 2 3 x

得-

1

3

x²+

2

3

x=

1

2

x+n，
整理得2x²-x+6n=0，
∴x₁+x₂=

1

2

，x₁x₂=3n，
∵y₁y₂=（

1

2

x₁+n）（

1

2

x₂+n）=

1

4

x₁x₂+

1

2

n（x₁+x₂）+n²=

1

4

•3n+

1

2

n•

1

2

+n²=n²+n，
∴3n+n²+n=0，解得n₁=0（舍去），n₂=-4，
∴n的值为-4．

点评：本题考查了一次函数图象与几何变换：一次函数y=kx+b向下平移m个单位所得直线解析式为y=kx+b-m．也考查了勾股定理和根与系数的关系、二次函数图象与二次函数图象的交点问题．