Question

如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O，分别交AC、BC于点D、E，过点D作DF⊥BC于F点，且D为

AE

的中点，若

BE

AB

=

3

5

，且AD=4

5

，求⊙O的半径．

Answer 1

考点：垂径定理,勾股定理,圆周角定理

专题：

分析：连接AE交OD于H，根据圆周角的性质求得AE⊥BE，根据垂径定理求得OD⊥AE，从而求得OD∥BC，进而求得OH=

1

2

BE，根据题意设BE=3x，则AB=5x，由勾股定理得，AE=4x，进而得出AH=2x，OH=1.5x，DH=x，然后根据勾股定理求得AD=

5

x，又因为AD=4

5

，即可求得x=4，进而求得⊙O的半径．

解答：解：连接AE交OD于H，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
即AE⊥BE，
∵D为

AE

的中点，
∴OD⊥AE，
∴OD∥BC，
∵OA=OB，
∴OH=

1

2

BE，
在RT△ABE中，

BE

AB

=

3

5

，设BE=3x，则AB=5x，由勾股定理得，AE=4x，
∴AH=2x，OH=1.5x，
∴DH=OD-OH=2.5x-1.5x=x，
在RT△ADH中，AD=

AH2+DH2

=

(2x)2+x2

=

5

x，
∵AD=4

5

，
∴x=4，
∴⊙O的半径=4×2.5=10．

点评：本题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理的应用，熟练掌握这些定理是解题的关键．