Question

15．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），点B和点D的坐标分别为（m，0），（n，4），且m＞0，四边形ABCD是矩形．
（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，求m，n的值；
（2）在图2中，画出矩形ABCD，简要说明点C，D的位置是如何确定的，并直接用含m的代数式表示点C的坐标；
（3）探究：当m为何值时，矩形ABCD的对角线AC的长度最短．

Answer 1

分析 （1）先判断出∠ADE=∠BAO，即可判断出△ABO≌△ADE，得出DE=OA=3，AE=OB，即可求出m；
（2）先根据垂直的作法即可画出图形，判断出△ADE≌△CBF，得出CF=1，再判断出△AOB∽△DEA，即可得出OB=$\frac{3}{m}$，即可得出结论；
（3）先判断出BD⊥x轴时，求出AC的最小值，再求出DM=2，最后用勾股定理求出AE即可得出m．

解答 解：（1）如图1，过点D作DE⊥y轴于E，
∴∠AED=∠AOB=90°，
∴∠ADE+∠DAE=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠BAD=90°，
∴∠DAE+∠BAO=90°，
∴∠ADE=∠BAO，
在△ABO和△ADE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AOB=∠DEA=90°}\\{∠BAO=∠ADE}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△ADE，
∴DE=OA，AE=OB，
∵A（0，3），B（m，0），D（n，4），
∴OA=3，OB=m，OE=4，DE=n，
∴n=3，
∴OE=OA+AE=OA+OB=3+m=4，
∴m=1；

（2）画法：如图2，①过点A画AB的垂线l₁，
过点B画AB的垂线l₂，
②过点E（0，4），画y轴的垂线l₃交l₁于D，
③过点D画直线l₁的垂线交直线l₂于点C，
所以，四边形ABCD是所求作的图形，

过点C作CF⊥x轴于F，
∴∠CBF+∠BCF=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠ABC=∠BAD=90°，
∴∠ABO+∠CBF=90°，
∴∠BCF=∠ABO，
同理：∠ABO=∠DAE，
∴∠BCF=∠DAE，
在△ADE和△CBF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AED=∠CFB=90°}\\{∠DAE=∠BCF}\\{AD=BC}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CBF，
∴DE=BF=n，AE=CF=1，
易证△AOB∽△DEA，
∴$\frac{OA}{DE}=\frac{OB}{AE}$，∴$\frac{3}{n}=\frac{m}{1}$，
∴n=$\frac{3}{m}$，
∴OF=OB+BF=m+$\frac{3}{m}$，
∴C（m+$\frac{3}{m}$，1）；

（3）如图3，由矩形的性质可知，BD=AC，
∴BD最小时，AC最小，
∵B（m，0），D（n，4），
∴当BD⊥x轴时，BD有最小值4，此时，m=n，
即：AC的最小值为4，
连接BD，AC交于点M，过点A作AE⊥BD于E，
由矩形的性质可知，DM=BM=$\frac{1}{2}$BD=2，
∵A（0，3），D（n，4），
∴DE=1，
∴EM=DM-DE=1，
在Rt△AEM中，根据勾股定理得，AE=$\sqrt{3}$，
∴m=$\sqrt{3}$，即：
当m=$\sqrt{3}$时，矩形ABCD的对角线AC的长最短为4．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解（1）的关键是△ABO≌△ADE，解（2）的关键是△ADE≌△CBF和△AOB∽△DEA，解（3）的关键是作出辅助线，是一道中考常考题．