Question

如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点O在AB边上，以点O为圆心，OB长为半径的半圆O与AC边切于点E，与AB边交于另一点D，如果BD=BC=6，求AC的长．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：连接OE，先求得△OAE∽△CAB，根据相似三角形对应边成比例从而求得AE=2AD，然后根据切割线定理即可求得AD的长，进而求得AC的长．

解答：解：连接OE，
∵半圆O与AC边切于点E，
∴∠AEO=90°，
∴∠AEO=∠B=90°，
∵∠OAE=∠CAB，
∴△OAE∽△CAB，
∴

OA

AC

=

OE

BC

=

1

2

，即

AD+3

AE+6

=

1

2

，
∴AE=2AD，
根据切割线定理得AE²=AD•AB，
∴AD•（AD+6）=4AD²，
解得：AD=2，
∴AE=2AD=4，
∴AC=AD+EC=4+6=10．

点评：本题考查的是切割线定理，切线的性质定理，三角形相似的判定和性质，求得AE=2AD是关键．