Question

19．如图，点A是反比例函数y=$\frac{1}{x}$（x＞0）上的一个动点，连接OA，过点O作OB⊥OA，并且使OB=2OA，连接AB，当点A在反比例函数图象上移动时，点B也在某一反比例函数y=$\frac{k}{x}$图象上移动，则k的值为（　　）

• A． -4
• B． 4
• C． -2
• D． 2

Answer 1

分析 过A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥x轴于点D，可设A（x，$\frac{1}{x}$），由条件证得△AOC∽△OBD，从而可表示出B点坐标，则可求得得到关于k的方程，可求得k的值．

解答 解：
∵点A是反比例函数y=$\frac{1}{x}$（x＞0）上的一个动点，
∴可设A（x，$\frac{1}{x}$），
∴OC=x，AC=$\frac{1}{x}$，
∵OB⊥OA，
∴∠BOD+∠AOC=∠AOC+∠OAC=90°，
∴∠BOD=∠OAC，且∠BDO=∠ACO，
∴△AOC∽△OBD，
∵OB=2OA，
∴$\frac{AC}{OD}$=$\frac{OC}{BD}$=$\frac{AO}{BO}$=$\frac{1}{2}$，
∴OD=2AC=$\frac{2}{x}$，BD=2OC=2x，
∴B（-$\frac{2}{x}$，2x），
∵点B反比例函数y=$\frac{k}{x}$图象上，
∴k=-$\frac{2}{x}$•2x=-4，
故选A．

点评 本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，利用条件构造三角形相似，用A点坐标表示出B点坐标是解题的关键．