Question

如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，N为

BC

的中点，M为

AC

的中点，AN与BM交于点P，证明：NB=NP．

Answer 1

考点：圆周角定理,圆心角、弧、弦的关系

专题：证明题

分析：根据圆周角的定理得出∠MBN的度数=

1

2

MC

的度数+

1

2

NC

的度数，∠BAN的度数=

1

2

BN

的度数，∠ABM的度数=

1

2

AM

的度数，根据三角形外角定理得出∠BPN=∠ABM+∠BAN，进而求得∠MBN的度数=

1

4

（

AC

的度数+

BC

的度数），∠BPN的度数=

1

4

（

AC

的度数+

BC

的度数），从而证得∠MBN=∠BPN，根据等角对等边即可证得．

解答：证明：∵N为

BC

的中点，M为

AC

的中点，
∴

AM

=

MC

=

1

2

AC

，

NC

=

NB

=

1

2

BC

，
∵∠MBN的度数=

1

2

MC

的度数+

1

2

NC

的度数，∠BAN的度数=

1

2

BN

的度数，∠ABM的度数=

1

2

AM

的度数，
又∵∠BPN=∠ABM+∠BAN，
∴∠MBN的度数=

1

4

（

AC

的度数+

BC

的度数），∠BPN的度数=

1

4

（

AC

的度数+

BC

的度数），
∴∠MBN=∠BPN，
∴NB=NP．

点评：此题考查圆周角的定理以及三角形外角定理，掌握基础知识是解决问题的关键．