Question

4．如图，已知点A是双曲线y=$\frac{2}{x}$在第一象限的分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边△ABC，点C在第四象限．随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＜0）上运动，求k的值．

Answer 1

分析 连接OC，易证AO⊥OC，OC=$\sqrt{3}$OA．由∠AOC=90°想到构造K型相似，过点A作AE⊥y轴，垂足为E，过点C作CF⊥y轴，垂足为F，可证△AEO∽△OFC．从而得到OF=AE，FC=$\sqrt{3}$EO．设点A坐标为（a，b），则ab=2，可得FC•OF=6．设点C坐标为（x，y），从而有FC•OF=-xy=-6，即k=xy=-6．

解答 解：∵双曲线y=$\frac{2}{x}$关于原点对称，
∴点A与点B关于原点对称．
∴OA=OB．
连接OC，如图所示．
∵△ABC是等边三角形，OA=OB，
∴OC⊥AB，∠BAC=60°，
∴tan∠OAC=$\frac{OC}{OA}$=$\sqrt{3}$，
∴OC=$\sqrt{3}$OA．
过点A作AE⊥y轴，垂足为E，过点C作CF⊥y轴，垂足为F，
∵AE⊥OE，CF⊥OF，OC⊥OA，
∴∠AEO=∠OFC，∠AOE=90°-∠FOC=∠OCF，
∴△AEO∽△OFC．
∴$\frac{AE}{OF}$=$\frac{OE}{CF}$=$\frac{OA}{OC}$．
∵OC=$\sqrt{3}$OA，
∴OF=$\sqrt{3}$AE，FC=$\sqrt{3}$EO．
设点A坐标为（a，b），
∵点A在第一象限，
∴AE=a，OE=b．
∴OF=$\sqrt{3}$AE=$\sqrt{3}$a，FC=$\sqrt{3}$EO=$\sqrt{3}$b．
∵点A在双曲线y=$\frac{2}{x}$上，
∴ab=2．
∴FC•OF=$\sqrt{3}$b•$\sqrt{3}$a=3ab=6．
设点C坐标为（x，y），
∵点C在第四象限，
∴FC=x，OF=-y．
∴FC•OF=x•（-y）=-xy=6．
∴xy=-6．
∵点C在双曲线y=$\frac{k}{x}$上，
∴k=xy=-6．

点评 本题是反比例函数综合题，其中涉及到等边三角形的性质、反比例函数的性质、相似三角形的判定与性质、点与坐标之间的关系、特殊角的三角函数值等知识，有一定的难度．由∠AOC=90°联想到构造K型相似是解答本题的关键．