Question

20．以菱形ABCD的对角线交点O为坐标原点，AC所在的直线为x轴，已知A（-4，0），B（0，-2），M（0，4），P为折线BCD上一动点，作PE⊥y轴于点E，设点P的纵坐标为a．
（1）求BC边所在直线的解析式；
（2）设y=MP²+OP²，求y关于a的函数关系式；
（3）当△OPM为直角三角形时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）先确定出OA=4，OB=2，再利用菱形的性质得出OC=4，OD=2，最后用待定系数法即可确定出直线BC解析式；
（2）分两种情况，先表示出点P的坐标，利用两点间的距离公式即可得出函数关系式；
（3）分两种情况，利用勾股定理的逆定理建立方程即可求出点P的坐标．

解答 解：（1）∵A（-4，0），B（0，-2），
∴OA=4，OB=2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OC=OA=4，OD=OB=2，
∴C（4，0），D（0，2），
设直线BC的解析式为y=kx-2，
∴4k-2=0，
∴k=$\frac{1}{2}$，
∴直线BC的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-2；

（2）由（1）知，C（4，0），D（0，2），
∴直线CD的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2，
由（1）知，直线BC的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-2，
当点P在边BC上时，
设P（2a+4，a）（-2≤a＜0），
∵M（0，4），
∴y=MP²+OP²=（2a+4）²+（a-4）²+（2a+4）²+a²=2（2a+4）²+（a-4）²+a²=10a²+24a+48
当点P在边CD上时，
∵点P的纵坐标为a，
∴P（4-2a，a）（0≤a≤2），
∵M（0，4），
∴y=MP²+OP²=（4-2a）²+（a-4）²+（4-2a）²+a²=10a²-40a+48，
（3）①当点P在边BC上时，即：0≤a≤2，
由（2）知，P（2a+4，a），
∵M（0，4），
∴OP²=（2a+4）²+a²=5a²+16a+16，PM²=（2a+4）²+（a-4）²=5a²-8a+32，OM²=16，
∵△POM是直角三角形，易知，PM最大，
∴OP²+OM²=PM²，
∴5a²+16a+16+16=5a²-8a+32，
∴a=0（舍）
②当点P在边CD上时，即：0≤a≤2时，
由（2）知，P（4-2a，a），
∵M（0，4），
∴OP²=（4-2a）²+a²=5a²-16a+16，PM²=（4-2a）²+（a-4）²=5a²-24a+32，OM²=16，
∵△POM是直角三角形，
Ⅰ、当∠POM=90°时，
∴OP²+OM²=PM²，
∴5a²-16a+16+16=5a²-24a+32，
∴a=0，
∴P（4，0），
Ⅱ、当∠MPO=90°时，OP²+PM²=5a²-16a+16+5a²-24a+32=10a²-40a+48=OM²=16，
∴a=2+$\frac{2\sqrt{5}}{5}$（舍）或a=2-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴P（$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，2-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$），
即：当△OPM为直角三角形时，点P的坐标为（$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，2-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$），（4，0）．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质，勾股定理逆定理，两点间的距离公式，待定系数法，解（1）的关键是掌握待定系数法，解（2）的关键是分类讨论的思想，解（3）的关键是分两种情况，利用勾股定理逆定理建立方程求解，是一道中等难度的题目．