Question

6．如图，在平面直角坐标系中，一半径为2的圆的圆心的初始位置在（0，2），此时圆上一点P的位置在（0，0），圆在x轴上以每秒$\frac{π}{3}$的速度沿x轴正方向滚动，8秒时P点到x轴的距离为3．

Answer 1

分析 如图，设圆心为O′，作O′A⊥x轴于A，PD⊥x轴于D，O′F⊥PD于F．设优弧AP的圆心角为n．由弧长公式求出n，推出∠PO′A=120°，在Rt△PO′F中，求出PF，即可解决问题．

解答 解：如图，设圆心为O′，作O′A⊥x轴于A，PD⊥x轴于D，O′F⊥PD于F．设优弧AP的圆心角为n．

由题意$\frac{8}{3}$π=$\frac{n•π•2}{180}$，
解得n=240°，
∴∠PO′A=120°，
∵∠O′AD=∠FDA=∠O′FD=90°，
∴四边形O′ADE是矩形，
∴O′A=DF=2，∠FO′A=90°，
∴∠FO′P=30°，
在Rt△O′PF中，PF=$\frac{1}{2}$O′P=1，
∴PD=PF+DF=1+2=3，
∴点P到x轴的距离为3，
故答案为3．

点评 本题考查轨迹、弧长公式、坐标与图形的性质、矩形的判定和性质，直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考常考题型．