Question

8．如图，点A在双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上，点B在直线y=-0.5x+5上，
（1）直线y=-0.5x+5与两坐标轴围成的三角形的面积是25；
（2）若∠OAB=90°，AB=AO，且点A的纵坐标为-2，求k的值．

Answer 1

分析 （1）如图1中，求出直线y=-0.5x+5与坐标轴的交点即可解决问题．
（2）如图2中，作AH⊥OF于H，BG⊥AH于G．首先证明△OHA≌△AGB，推出OH=AG，AH=BG=2，设OH=AG=m，推出B（m+2，m-2），把点B（m+2，m-2）代入y=-0.5x+5求出m即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，

对于直线y=-0.5x+5，令x=0得y=5，令y=0得x=10，
∴直线与x轴的交点坐标为（10，0），与y轴的交点坐标为（0，5），
∴OF=10，OE=5，
∴直线y=-0.5x+5与两坐标轴围成的三角形的面积=$\frac{1}{2}$•OE•OF=$\frac{1}{2}$×10×5=25．
故答案为25．

（2）如图2中，作AH⊥OF于H，BG⊥AH于G．

∵∠OAB=90°，
∴∠OAH+∠GAB=90°，∠GAB+∠ABG=90°，
∴∠OAH=∠ABG，
在△OHA和△AGB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OAH=∠ABG}\\{∠OHA=∠AGB=90°}\\{OA=AB}\end{array}\right.$，
∴△OHA≌△AGB，
∴OH=AG，AH=BG=2，设OH=AG=m，
∴B（m+2，m-2），
把点B（m+2，m-2）代入y=-0.5x+5得m-2=-0.5（m+2）+5，
解得m=4，
∴点A坐标（4，-2），
∵点A在反比例函数y=$\frac{k}{x}$上，
∴k=-8．

点评 本题考查一次函数的应用、反比例函数、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．