Question

6．如图，在平面直角坐标系中．O为坐标原点，直线y=-$\frac{3}{4}$x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点．点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO匀速运动，设点P的运动时间为t秒．过点P与直线AB垂直的直线与y轴交于点E．
（1）当t为何值时，点P到直线AB的距离为$\frac{12}{5}$．
（2）在点P的运动的过程中，是否存在点P，使△EOP≌AOB？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）可先求得A、B的坐标，则可求得OA、OB的长，设直线PE与直线AB交于点F，由条件可证明△APF∽△ABO，利用相似三角形的性质可求得t的值；
（2）由全等三角形的性质可知OB=OP，当点P在线段AO上时，则有OP=OA-AP=4-t，当点P在线段AO的延长线上时，则有OP=AP-AO=t-4，则分别可求得t的值．

解答 解：
（1）在y=-$\frac{3}{4}$x+3中，令y=0可得-$\frac{3}{4}$x+3=0，解得x=4，令x=0，可求得y=3，
∴A（4，0），B（0，3），
∴OA=4，OB=3，
∴AB=5，
如图，设直线PE与直线AB交于点F，

则AP=t，
由题意可知∠PFA=∠AOB=90°，且∠PAF=∠BAO，
∴△APF∽△ABO，
∴$\frac{AP}{AB}$=$\frac{PF}{OB}$，即$\frac{t}{5}$=$\frac{\frac{12}{5}}{3}$，解得t=4，
即当t的值为4时，点P到直线AB的距离为$\frac{12}{5}$；
（2）当△EOP≌AOB时，可知OP=OB=3，
当点P在线段AO上时，如图2，

则有AP=t，OA=4，
∴OP=OA-AP=4-t，
∴4-t=3，解得t=1；
当点P在线段AO的延长线上时，如图3，

则有AP=t，AO=4，
∴OP=AP-AO=t-4，
∴t-4=3，解得t=7，
综上可知存在满足条件的点P，当t的值为1或7时有△EOP≌AOB成立．

点评 本题为一次函数的综合应用，涉及函数与坐标轴的交点、勾股定理、相似三角开形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、分类讨论思想及方程思想．在（1）中证明三角形相似，利用相似三角形的性质得到关于t的方程是解题的关键，在（2）中利用全等三角形的性质得到OP=3，再分两种情况分别得到关于t的方程是解题的关键．本题考查知识点不多，难度不大．