Question

16．如图，AA′，BB′，CC′相交于点O，且A′B′∥AB，B′C′∥BC，A′C′∥AC，OB=3OB′，判断△ABC的面积与△A′B′C′的面积有什么关系？

Answer 1

分析 结论：S_△ABC=9•S_{△A′B′C′}．只要证明$\frac{A′B′}{AB}$=$\frac{B′C′}{BC}$=$\frac{A′C′}{AC}$=$\frac{1}{3}$，推出△ABC∽△A′B′C′，推出$\frac{{S}_{△A′B′C′}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{1}{3}$）²=$\frac{1}{9}$，即可证明．

解答 解：S_△ABC=9•S_{△A′B′C′}．
理由：∵A′B′∥AB，B′C′∥BC，A′C′∥AC，OB=3OB′，
∴$\frac{A′B′}{AB}$=$\frac{OA′}{OA}$=$\frac{OB′}{OB}$=$\frac{1}{3}$，$\frac{B′C′}{BC}$=$\frac{OB′}{OB}$，$\frac{A′C′}{AC}$=$\frac{OA′}{OA}$，
∴$\frac{A′B′}{AB}$=$\frac{B′C′}{BC}$=$\frac{A′C′}{AC}$=$\frac{1}{3}$，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∴$\frac{{S}_{△A′B′C′}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{1}{3}$）²=$\frac{1}{9}$，
∴S_△ABC=9•S_{△A′B′C′}．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，属于中考常考题型．