Question

13．如图，等腰Rt△OAB中，∠OAB=90°，顶点A在y=-$\frac{12}{x}$（x＜0）上，顶点B在y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上，若△OAB的面积是$\frac{25}{2}$，则k的值是7．

Answer 1

分析 过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，过点A作AE⊥BD于点E，设点A坐标为（a，b），由等腰直角三角形△AOB的面积为$\frac{25}{2}$且点A在y=-$\frac{12}{x}$（x＜0）上求得点A坐标，再证△ACO≌△AEB可得AC=AE、CO=BE，继而可得点B的坐标，即可求得k的值．

解答 解：如图，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，过点A作AE⊥BD于点E，

设点A坐标为（a，b），
∵S_△AOB=$\frac{25}{2}$，且△AOB为等腰直角三角形，
∴a²+b²=25 ①，
又∵点A在y=-$\frac{12}{x}$（x＜0）上，
∴ab=-12  ②，
由①、②解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-3}\\{b=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-4}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴点A坐标为（-3，4）或（-4，3），
∵AC⊥x轴、BD⊥x轴、AE⊥BD，
∴四边形ACDE是矩形，
∴∠CAO+∠OAE=90°，
又∵∠OAE+∠EAB=90°，
∴∠CAO=∠EAB，
在△ACO和△AEB中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠ACO=∠AEB=90°}\\{∠CAO=∠EAB}\\{AO=AB}\end{array}\right.$，
∴△ACO≌△AEB（AAS），
∴AC=AE，CO=BE，
①若点A坐标为（-3，4），
则OD=AE-CO=AC-CO=1，BD=BE+DE=CO+AC=7，
∴点B坐标为（1，7），
∴k=7；
②若点A坐标为（-4，3），
则OD=AE-CO=AC-CO=3-4=-1＜0，不符合题意，舍去；
综上，k=7，
故答案为：7．

点评 本题考查了反比例函数的综合题，涉及了反比例函数k的几何意义、全等三角形的判定与性质，综合考察的知识点较多，注意数形结合思想的运用，将各个知识点融会贯通．