Question

1．如图，等腰三角形AMN中放置了一个正六边形，已知三角形AMN的面积是160平方厘米，那么正六边形ABCDEF的面积是60平方厘米．

Answer 1

分析 如图，连接AD、BE、CF，点O是正六边形的中心，是正六边形的边长为a．由S_△AMN=160，可得方程$\frac{1}{2}$×$4\sqrt{3}$a×2a=160，求出a²，再根据S_{正六边形ABCDEF}=6×$\frac{\sqrt{3}}{4}$×a²，即可解决问题．

解答 解：如图，连接AD、BE、CF，点O是正六边形的中心，是正六边形的边长为a．

∵ABCDEF是正六边形，
∴∠DAB=∠DAN=60°，△ABO，△BCO，△DCO，△DEO，△EFO，△AOF都是等边三角形．
∵AM=AN，
∴AD⊥MN，
在RT△AMD中，∵∠ADM=90°，AD=2a，∠AMD=30°，
∴DM=2$\sqrt{3}$a，
∵S_△AMN=160，
∴$\frac{1}{2}$×$4\sqrt{3}$a×2a=160，
∴a²=$\frac{40}{\sqrt{3}}$，
∴S_{正六边形ABCDEF}=6×$\frac{\sqrt{3}}{4}$×a²=60．
故答案为60．

点评 本题考查正多边形与圆、等腰三角形的性质、直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考常考题型．