Question

2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1cm，BC=4cm，动点P从点B出发，以每秒1cm的速度沿射线BA运动，求出点P运动所有的时间，使得△PBC为等腰三角形．

Answer 1

分析 根据勾股定理求出斜边AB，根据等腰三角形的判定得出符合情况的三种情况：①BP=PC，②BP=BC，③BC=CP，根据等腰三角形的性质得出即可．

解答 解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1cm，BC=4cm，
∴AB=$\sqrt{17}$cm，
设BP=t，且△PBC为等腰三角形有三种可能：
①若BP=PC，则∠B=∠PCB，
∵∠ACB=90°，
∴∠PAC=∠PCA，
∴PC=PA，
∴t=BP=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{\sqrt{17}}{2}$；
②若BP=BC，则t=4；
③若BC=PC，过点C作CH⊥AB，如图，
则BP=2BH．由CH•AB=BC•AC，得CH=$\frac{BC•AC}{AB}$=$\frac{4×1}{\sqrt{17}}$=$\frac{4\sqrt{17}}{17}$；
在Rt△BHC中，由勾股定理得BH=$\sqrt{B{C}^{2}-C{H}^{2}}$=$\frac{16\sqrt{17}}{17}$，
∴t=BP=$\frac{32\sqrt{17}}{17}$；
综上所述，符合要求的t的值有3个，分别是$\frac{\sqrt{17}}{2}$秒或4秒$\frac{32\sqrt{17}}{17}$秒．

点评 本题考查了等腰三角形的性质和判定，勾股定理，三角形的面积的应用，能求出符合情况的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论思想．