Question

【题目】如图，已知直线与轴，轴分别交于点，抛物线的顶点是，且与轴交于两点，与轴交于点是抛物线上一个动点，过点作于点．

求二次函数的解析式；

当点运动到何处时，线段PG的长取最小值?最小值为多少?

若点是抛物线对称轴上任意点，点是抛物线上一动点，是否存在点使得以点为顶点的四边形是菱形?若存在，请你直接写出点的坐标；若不存在，请你说明理由．

Answer 1

【答案】（1）； （2）点的坐标为 ，最小值为；（3）点的坐标为或

【解析】

(1)根据顶点式直接写出二次函数的解析式，整理可得二次函数的一般式；

(2) 过点作轴交于点，即可通过三角函数关系式把求线段PG的长取最小值转化为求线段PH的最小值即可得到答案；

(3)分CD为菱形的边和对角线两种情况讨论即可；

解：由题意，可得抛物线为

整理得：

故二次函数的解析式为

把代入得

点的坐标为．

把代入

得

点的坐标为．

如图过点作轴交于点

则有，

（两直线平行，同位角相等）

设点的横坐标为

则，，

，

，

当时，有最小值，最小值为，

此时有最小值，

当时，

此时点的坐标为

符合条件的点的坐标为或，

求解如下：

由题意知，抛物线的对称轴为，

把代入，

得或，

，

．

I．如图当以为菱形的边时，平行且等于

若点在对称轴右侧，

，

，

把代入，得，

点的坐标为．

四边形为菱形，

即符合题意，

同理可知，当的坐标为时，四边形也为菱形．

II．如图当为菱形的对角线时，

根据菱形的对角线互相垂直平分，可得对称轴垂直平分

所以在对称轴上．

又因为点在抛物线上，

所以点为抛物线的顶点，

所以点的坐标为．

综上所述，符合条件的点的坐标为或