Question

7．如图，AD为△ABC的高，AE为△ABC外接圆的直径，且AD=$\frac{1}{2}$AE=2$\sqrt{3}$，AB：AC=2：3，求sinB的值．

Answer 1

分析 连接CE，根据圆周角定理得到∠ACE=90°，设AB=2k，AC=3k，根据相似三角形的性质得到k=2，求得AB=4，然后根据三角函数的定义即可得到结论．

解答 解：连接CE，
∴∠B=∠E，
∵AE为△ABC外接圆的直径，
∴∠ACE=90°，
∵AD=$\frac{1}{2}$AE=2$\sqrt{3}$，
∴AE=4$\sqrt{3}$，
∵AB：AC=2：3，
∴设AB=2k，AC=3k，
∵AD为△ABC的高，
∴∠ADB=∠ACE=90°，
∴△ABD∽△AEC，
∴$\frac{AB}{AE}$=$\frac{AD}{AC}$，
∴$\frac{2k}{4\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3k}$，
∴k=2，
∴AB=4，
∴sinB=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{2\sqrt{3}}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 此题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理与三角函数的定义．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．