Question

【题目】如图①，在中，，，点、分别是、的中点，连接.

（1）在图①中，的值为______；的值为______.

（2）若将绕点逆时针方向旋转得到，点、的对应点为、，在旋转过程中的大小是否发生变化？请仅就图②的情形给出证明.

（3）当在旋转一周的过程中，，，三点共线时，请你直接写出线段的长.

Answer 1

【答案】(1) ；;(2) 不发生变化,理由见解析；（3）或

【解析】

（1）根据直角三角形30°角的性质即可解决问题；

（2）只要证明，根据相似三角形的性质即可得的值即可；

(3)分当点在线段上时及当点在线段的延长线上时，两种情况画出图形分别解决即可.

（1）在图①中，连接，

∵，点分别是的中点，

∴，

∴，

∵，，

∴，

在中，，，

∵点是的中点，

∴，

∴；.

（2）解：不发生变化.

连接，

∵，点分别是的中点，

∴，

∴，

∵，，

∴，

在中，，，

∵点是的中点，

∴，.

∵点是的中点，

∴，

∵旋转，

∴，，，

∴；，，

∴，

∴，

∴.

（3）由旋转可知：在△CDE中，∠CDE=120°，DE=CD=1，由（1）可知

如图，作CF⊥AE，

∵∠CDE=120°

∴∠CDF=60°，

在Rt△CDF中： ，

在Rt△ADF中: ，

∴ ，

∴

如图，作CG⊥AE，

∵∠CDE=120°

∴∠CDG=60° ，

在Rt△CDF中： ， ,

在Rt△ADF中: ，

∴ ，

∴