Question

15．如图，AB为⊙O直径，C为⊙O上一点，∠ACB的平方线交⊙O于点D，若AB=10，AC=6，则CD的长为（　　）

• A． 7
• B． 7$\sqrt{2}$
• C． 8
• D． 8$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 作DF⊥CA，交CA的延长线于点F，作DG⊥CB于点G，连接DA，DB．由CD平分∠ACB，根据角平分线的性质得出DF=DG，由HL证明△AFD≌△BGD，△CDF≌△CDG，得出CF=7，又△CDF是等腰直角三角形，从而求出CD．

解答 解：作DF⊥CA，垂足F在CA的延长线上，作DG⊥CB于点G，连接DA，DB．
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∴DF=DG，弧AD=弧BD，
∴DA=DB．
在Rt△AFD和Rt△BGD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=AD}\\{DF=DG}\end{array}\right.$，
∴△AFD≌△BGD（HL），
∴AF=BG．
在△CDF和△CDG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACD=∠GCD}\\{∠CFD=∠DGC}\\{CD=CD}\end{array}\right.$，
∴△CDF≌△CDG（AAS），
∴CF=CG．
∵AC=6，AB=10，
∴BC=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
∴AF=1，
∴CF=7，
∵△CDF是等腰直角三角形，
∴CD=7$\sqrt{2}$．
故选B．

点评 本题主要考查了圆周角的性质，圆心角、弧、弦的对等关系，全等三角形的判定，角平分线的性质等知识点的运用．关键是正确作出辅助线．