Question

11．如图，在△ABC中，∠B=90°，tan∠C=$\frac{3}{4}$，AB=6cm．动点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，在运动过程中，△PBQ的最大面积是（　　）

• A． 18cm²
• B． 12cm²
• C． 9cm²
• D． 3cm²

Answer 1

分析 先根据已知求边长BC，再根据点P和Q的速度表示BP和BQ的长，设△PBQ的面积为S，利用直角三角形的面积公式列关于S与t的函数关系式，并求最值即可．

解答 解：∵tan∠C=$\frac{3}{4}$，AB=6cm，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{6}{BC}$=$\frac{3}{4}$，
∴BC=8，
由题意得：AP=t，BP=6-t，BQ=2t，
设△PBQ的面积为S，
则S=$\frac{1}{2}$×BP×BQ=$\frac{1}{2}$×2t×（6-t），
S=-t²+6t=-（t²-6t+9-9）=-（t-3）²+9，
P：0≤t≤6，Q：0≤t≤4，
∴当t=3时，S有最大值为9，
即当t=3时，△PBQ的最大面积为9cm²；
故选C．

点评 本题考查了有关于直角三角形的动点型问题，考查了解直角三角形的有关知识和二次函数的最值问题，解决此类问题的关键是正确表示两动点的路程（路程=时间×速度）；这类动点型问题一般情况都是求三角形面积或四边形面积的最值问题，转化为函数求最值问题，直接利用面积公式或求和、求差表示面积的方法求出函数的解析式，再根据函数图象确定最值，要注意时间的取值范围．