Question

4．如图，在?ABCD中，∠ABC，∠BCD的平分线BE，CF分别与AD相交于点E、F，BE与CF相交于点G，若AB=3，BC=5，CF=2，则BE的长为（　　）

• A． 2$\sqrt{2}$
• B． 4
• C． 4$\sqrt{2}$
• D． 5

Answer 1

分析 根据平行四边形两组对边分别平行可得∠ABC+∠BCD=180°，再根据角平分线的性质可得∠EBC+∠FCB=90°，可得BE⊥CF；过A作AM∥FC，∠BC于M，证明△ABE是等腰三角形，进而得到BO=EO，再利用勾股定理计算出EO的长，进而可得答案．

解答 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∵∠ABC、∠BCD的平分线BE、CF分别与AD相交于点E、F，
∴∠EBC+∠FCB=$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠DCB=90°
∴EB⊥FC；
过A作AM∥FC，交BC于M，如图所示：
∵AM∥FC，
∴∠AOB=∠FGB，
∵EB⊥FC，
∴∠FGB=90°，
∴∠AOB=90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE=3，
∵AO⊥BE，
∴BO=EO，
在△AOE和△MOB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEO=∠MBO}&{\;}\\{BO=EO}&{\;}\\{∠AOE=∠BOM}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△MOB（ASA），
∴AO=MO，
∵AF∥CM，AM∥FC，
∴四边形AMCF是平行四边形，
∴AM=FC=2，
∴AO=1，
∴EO=$\sqrt{A{E}^{2}-A{O}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴BE=4$\sqrt{2}$；
故选：C．

点评 此题主要考查了平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定和性质；证明AO=MO，BO=EO是解决问题的关键．