Question

14．如图，抛物线y=ax²+bx-3（a≠0）的顶点为E，该抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且BO=OC=3AO，直线y=-$\frac{1}{3}$x+1与y轴交于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）证明：△DBO∽△EBC；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P点坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出点C的坐标，在由BO=OC=3AO，确定出点B，A的坐标，最后用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）先求出点A，B，C，D，E的坐标，从而求出BC=3$\sqrt{2}$，BE=2$\sqrt{5}$，CE=$\sqrt{2}$，OD=1，OB=3，BD=$\sqrt{10}$，求出比值，得到$\frac{CE}{OD}=\frac{BC}{OB}=\frac{BE}{BD}$得出结论；
（3）设出点P的坐标，表示出PB，PC，求出BC，分三种情况计算即可．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx-3，
∴c=-3，
∴C（0，-3），
∴OC=3，
∵BO=OC=3AO，
∴BO=3，AO=1，
∴B（3，0），A（-1，0），
∵该抛物线与x轴交于A、B两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b-3=0}\\{a-b-3=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=x²-2x-3，
（2）由（1）知，抛物线解析式为y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴E（1，-4），
∵B（3，0），A（-1，0），C（0，-3），
∴BC=3$\sqrt{2}$，BE=2$\sqrt{5}$，CE=$\sqrt{2}$，
∵直线y=-$\frac{1}{3}$x+1与y轴交于点D，
∴D（0，1），
∵B（3，0），
∴OD=1，OB=3，BD=$\sqrt{10}$，
∴$\frac{CE}{OD}=\sqrt{2}$，$\frac{BC}{OB}=\sqrt{2}$，$\frac{BE}{BD}=\sqrt{2}$，
∴$\frac{CE}{OD}=\frac{BC}{OB}=\frac{BE}{BD}$，
∴△BCE∽△BDO，
（3）存在，
理由：设P（1，m），
∵B（3，0），C（0，-3），
∴BC=3$\sqrt{2}$，PB=$\sqrt{{m}^{2}+4}$，PC=$\sqrt{（m+3）^{2}+1}$，
∵△PBC是等腰三角形，
①当PB=PC时，
∴$\sqrt{{m}^{2}+4}$=$\sqrt{（m+3）^{2}+1}$，
∴m=-1，
∴P（1，-1），
②当PB=BC时，
∴3$\sqrt{2}$=$\sqrt{{m}^{2}+4}$，
∴m=±$\sqrt{14}$，
∴P（1，$\sqrt{14}$）或P（1，-$\sqrt{14}$），
③当PC=BC时，
∴3$\sqrt{2}$=$\sqrt{（m+3）^{2}+1}$，
∴m=-3±$\sqrt{17}$，
∴P（1，-3+$\sqrt{17}$）或P（1，-3-$\sqrt{17}$），
∴符合条件的P点坐标为P（1，-1）或P（1，$\sqrt{14}$）或P（1，-$\sqrt{14}$）或P（1，-3+$\sqrt{17}$）或P（1，-3-$\sqrt{17}$）

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了点的坐标的确定方法，两点间的距离公式，待定系数法，等腰三角形的性质，相似三角形的判定，解本题的关键是判断△BCE∽△BDO．难点是分类．