Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝，E是CD边上的中点，P是BC边上的一点，且BP＝2CP，连接EP并延长交AB的延长线于点F．

（1）求BF；

（2）判断EB是否平分∠AEC，并说明理由；

（3）连接AP，不添加辅助线，试证明△AEP≌△FBP，直接写出一种经过两次变换的方法使得△AEP与△FBP重合．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）EB平分∠AEC，理由见解析（3）①将△BPF绕点P顺时针旋转120°和△EPA重合，再沿PE折叠；②将△BPF以过点P垂直于BC的直线折叠，再绕点P逆时针旋转60°．

【解析】

（1）求出DE，CE，即可得出结论；

（2）用锐角三角函数求出∠AED＝60°，得出∠BEC＝∠AED＝60°，即可得出结论；

（3）先判断出△AEP≌△FBP（AAS），即可得出结论．

解：（1）∵CE∥BF，

∴，

在Rt△ADE中，

∴DE＝＝＝1，

∴CE＝1，

∴BF＝2；

（2）EB平分∠AEC，理由如下：

在Rt△ADE中，AD＝，DE＝1，

∴tan∠AED＝＝，

∴∠AED＝60°，

∴∠BEC＝∠AED＝60°，

∴∠AEB＝180°﹣∠AED﹣∠BEC＝60°＝∠BEC，

∴EB平分∠AEC；

（3）∵BP＝2CP，BC＝，

∴CP＝，BP＝，

在Rt△CEP中，tan∠CEP＝，

∴∠CEP＝30°，

∴∠BEP＝30°，

∴∠AEP＝90°，

∵CD∥AB，

∴∠F＝∠CEP＝30°，

在Rt△ABP中，tan∠BAP＝，

∴∠PAB＝30°，

∴∠EAP＝30°＝∠F＝∠PAB，

∵CB⊥AF，

∴AP＝FP，∠FBP＝90°＝∠AEP，

在△AEP和△FBP中， ，

∴△AEP≌△FBP（AAS），

变换的方法为：①将△BPF绕点P顺时针旋转120°和△EPA重合，再沿PE折叠；

②将△BPF以过点P垂直于BC的直线折叠，再绕点P逆时针旋转60°．