Question

如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD、CD．
求证：点B、E、C在以点D为圆心，BD为半径的圆上．

Answer 1

考点：圆周角定理,圆心角、弧、弦的关系

专题：证明题

分析：根据垂径定理，由AD⊥BC，

BD

=

CD

，则BD=CD，∠3=∠4，再由∠ABC的平分线交AD于点E得∠2=∠ABE，根据三角形外角性质有∠1=∠4+∠ABE，所以∠1=∠2+∠3，则根据等腰三角形的判定得DB=DE，于是DB=DE=DC，然后根据点与圆的关系得点B、E、C在以点D为圆心，BD为半径的圆上．

解答：证明：∵AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，
∴

BD

=

CD

，
∴BD=CD，∠3=∠4，
∵∠ABC的平分线交AD于点E，
∴∠2=∠ABE，
∵∠1=∠4+∠ABE，
∴∠1=∠2+∠3，即∠1=∠DBE，
∴DB=DE，
∴DB=DE=DC，
∴点B、E、C在以点D为圆心，BD为半径的圆上．

点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆心角、弧、弦的关系．