Question

在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，点D在边AB上，且CD²=AD•BD，则线段CD的长度是

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,勾股定理的逆定理

专题：

分析：利用勾股定理逆定理判断出∠ACB=90°，过点C作CD′⊥AB于D′，求出△ACD′和△CBD′相似，根据相似三角形对应边成比例求出CD′²=AD′•BD′，然后判断出点D′与点D重合，再利用△ABC的面积列出方程求解即可．

解答：解：∵AC²+BC²=3²+4²=25=AB²，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，
过点C作CD′⊥AB于D′，
则∠A+∠ACD′=∠BCD′+∠ACD′=90°，
∴∠A=∠BCD′，
又∵∠AD′C=∠CD′B=90°，
∴△ACD′∽△CBD′，
∴

AD′

CD′

=

CD′

BD′

，
∴CD′²=AD′•BD′，
∵CD²=AD•BD，
∴点D′与点D重合，CD⊥AB，
∵S_△ABC=

1

2

AB•CD=

1

2

AC•BC，
∴

1

2

×5•CD=

1

2

×3×4，
解得CD=2.4．
故答案为：2.4．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的面积，勾股定理逆定理，作辅助线构造出相似三角形判断出CD⊥AB是解题的关键，也是本题的难点．