Question

13．如图，在直角坐标系中，抛物线y=a（x-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{9}{8}$与⊙M交于A，B，C，D四点，点A，B在x轴上，点C坐标为（0，-2）．
（1）求a值及A，B两点坐标；
（2）点P（m，n）是抛物线上的动点，当∠CPD为锐角时，请求出m的取值范围；
（3）点E是抛物线的顶点，⊙M沿CD所在直线平移，点C，D的对应点分别为点C′，D′，顺次连接A，C′，D′，E四点，四边形AC′D′E（只要考虑凸四边形）的周长是否存在最小值？若存在，请求出此时圆心M′的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把点C坐标代入抛物线解析式即可求出a，令y=0可得抛物线与x轴的交点坐标．
（2）根据题意可知，当点P在圆外部的抛物线上运动时，∠CPD为锐角，由此即可解决问题．
（3）存在．如图2中，将线段C′A平移至D′F，当点D′与点H重合时，四边形AC′D′E的周长最小，求出点H坐标即可解决问题．

解答 解：（1）∵抛物线y=a（x-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{9}{8}$经过点C（0，-2），
∴-2=a（0-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{9}{8}$，
∴a=-$\frac{1}{2}$，
∴y=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{9}{8}$，
当y=0时，-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{9}{8}$=0，
∴x₁=4，x₂=1，
∵A、B在x轴上，
∴A（1，0），B（4，0）．

（2）由（1）可知抛物线解析式为y=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{9}{8}$，
∴C、D关于对称轴x=$\frac{5}{2}$对称，
∵C（0，-2），
∴D（5，-2），
如图1中，连接AD、AC、CD，则CD=5，

∵A（1，0），C（0，-2），D（5，-2），
∴AC=$\sqrt{5}$，AD=2$\sqrt{5}$，
∴AC²+AD²=CD²，
∴∠CAD=90°，
∴CD为⊙M的直径，
∴当点P在圆外部的抛物线上运动时，∠CPD为锐角，
∴m＜0或1＜m＜4或m＞5．

（3）存在．如图2中，将线段C′A平移至D′F，则AF=C′D′=CD=5，

∵A（1，0），
∴F（6，0），
作点E关于直线CD的对称点E′，
连接EE′正好经过点M，交x轴于点N，
∵抛物线顶点（$\frac{5}{2}$，$\frac{9}{8}$），直线CD为y=-2，
∴E′（$\frac{5}{2}$，-$\frac{41}{8}$），
连接E′F交直线CD于H，
∵AE，C′D′是定值，
∴AC′+ED′最小时，四边形AC′D′E的周长最小，
∵AC′+D′E=FD′+D′E=FD′+E′F′≥E′F，
则当点D′与点H重合时，四边形AC′D′E的周长最小，
设直线E′F的解析式为y=kx+b，
∵E′（$\frac{5}{2}$，-$\frac{41}{8}$），F（6，0），
∴可得y=$\frac{41}{28}$x-$\frac{123}{14}$，
当y=-2时，x=$\frac{190}{41}$，
∴H（$\frac{190}{41}$，-2），∵M（$\frac{5}{2}$，-2），
∴DD′=5-$\frac{190}{41}$=$\frac{15}{41}$，
∵$\frac{5}{2}$-$\frac{15}{41}$=$\frac{175}{82}$，
∴M′（$\frac{175}{82}$，-2）

点评 本题考查二次函数综合题、待定系数法、圆的有关知识，解题的关键是理解直径所对的圆周角是直角，学会利用对称解决最小值问题，属于中考压轴题．