题目内容

已知一元二次方程x2-4x-5=0的两个实数根为x1、x2,且x1<x2.若x1、x2分别是抛物线y=-x2+bx+c与x轴的两个交点A、B的横坐标(如下图所示).

(1)求该抛物线的解析式;

(2)设(1)中的抛物线与y轴的交点为C,抛物线的顶点为D,请直接写出点C、D的坐标并求出四边形ABDC的面积;

(3)是否存在直线y=kx(k>0)与线段BD相交且把四边形ABDC的面积分为相等的两部分?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.

[注:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为()]

答案:
解析:

  解:(1)由方程x2-4x-5=0得方程的两根x1=-1,x2=5.

  所以A、B的坐标分别为A(-1,0)、B(5,0).……1分

  把A(-1,0)、B(5,0)代入y=-x2+bx+c得

   解得…………………………………………2分

  ∴抛物线的解析式为y=-x2+4x+5.…………………………3分

  (2)C(0,5)、D(2,9).………………………………………5分

  如图所示,过D作DE⊥x轴于点E,则

  S四边形ACDB=S△AOC+S四边形OCDE+S△EDB

  =…………6分

  =

  =16+14

  =30.………………………………………………7分

  (3)存在满足条件的直线.………………………8分

  设过B、D两点的直线解析式为y=k1x+d,把B(5,0)、D(2,9)代入y=k1x+d得

  ………………………………9分

  解得

  ∴直线BD的解析式为y=-3x+15.…………………………10分

  设y=kx与y=-3x+15的交点为F(m,n),作直线OF,则S△OBF=,即OB×n=15,

  ∴×5n=15,∴n=6.

  又∵点F(m,6)在y=-3x+15上,

  ∴6=-3m+15.

  ∴m=3.

  ∴点F(3,6).…………………………………………………11分

  把点F(3,6)代入y=kx,得6=3k,即k=2.…………………12分


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