Question

如图，平面直角坐标系中，直线AB解析式为：y=x+．直线与x轴，y轴分别交于A、B两点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）若点C是AB的中点，过点C作CD⊥x轴于点D，E，F分别为BC，OD的中点，求点E的坐标；
（3）在第一象限内是否存在点P，使得以P，O，B为顶点的三角形与△OBA相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据直线解析式与坐标轴的交点求出A、B两点的坐标；
（2）利用：△ACD∽△ABO求出AD、CD，再根据EF是梯形OBCD的中位线求出EF的长进而求出E点坐标；
（3）先确定△OPB的直角所在的定点然后分情况讨论进行分析和排除．
解答：解：（1）将y=0代入解得x=3，即A点坐标为（3，0）
将x=0代入解得y=，即B点坐标为（0，）；

（2）证得：△ACD∽△ABO CD=BO=，AD=OD=AO=
∵E，F分别为BC，OD的中点，CD∥BO
∴EF=（BO+CD）=（+）=OF=OD=
∴E（，） …5分

（3）当∠OBP=90°时，如图①若△BOP∽△OBA，则∠BOP=∠BAO=30°，BP=OB=3，∴P₁（3，）．
②若△BPO∽△OBA，则∠BPO=∠BAO=30°，OP=OB=1．
∴P₂（1，）．
当∠OPB=90°时③过点P作OP⊥BC于点P（如图②），此时△PBO∽△OBA，∠BOP=∠BAO=30°
过点P作PM⊥OA于点M．
方法一：在Rt△PBO中，BP=OB=，OP=BP=．
∵在Rt△PMO中，∠OPM=30°，
∴OM=OP=；PM=OM=．
∴（，）．
方法二：设P（x，x+），得OM=x，PM=x+，由∠BOP=∠BAO，得∠POM=∠ABO．
∵tan∠POM==tan∠ABO==．
∴x+=x，解得x=．此时，（，）．
④若△POB∽△OBA（如图③），则∠OBP=∠BAO=30°，∠POM=30°．
∴PM=OM=．
∴P₄（，）（由对称性也可得到点P₄的坐标）．
当∠OPB=90°时，点P在x轴上，不符合要求．
综合得，符合条件的点有四个，分别是：P₁（3，），P₂（1，），P₃（，），P₄（，）． …做出一种情况1分
点评：本题重点考查了一次函数和相似三角形性质相结合的问题，是典型的数形结合的题目．