Question

11．如图，等腰直角△ABC中，∠A=90°，AD：DC=1：2，求∠DBC的三角函数值．

Answer 1

分析 先过点D作DE⊥BC于E，得到∠CDE=∠C=45°，再设AD=k，则CD=2k，AB=3k，根据勾股定理求得Rt△ABD中，BD=$\sqrt{10}$k，Rt△CDE中，DE=CE=$\sqrt{2}$k，Rt△ABC中，BC=3$\sqrt{2}$k，BE=2$\sqrt{2}$k，最后计算∠DBC的三角函数值．

解答 解：如图所示，过点D作DE⊥BC于E，则∠CDE=∠C=45°，
∵等腰直角△ABC中，∠A=90°，AD：DC=1：2，
∴设AD=k，则CD=2k，AB=3k，
∴Rt△ABD中，BD=$\sqrt{10}$k，
Rt△CDE中，DE=CE=$\sqrt{2}$k，
Rt△ABC中，BC=3$\sqrt{2}$k，
∴BE=2$\sqrt{2}$k，
∴在Rt△BDE中，sin∠DBC=$\frac{DE}{DB}$=$\frac{\sqrt{2}k}{\sqrt{10}k}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
cos∠DBC=$\frac{BE}{BD}$=$\frac{2\sqrt{2}k}{\sqrt{10}k}$=$\frac{2}{5}\sqrt{5}$，
tan∠DBC=$\frac{DE}{BE}$=$\frac{\sqrt{2}k}{2\sqrt{2}k}$=$\frac{1}{2}$，
cot∠DBC=2．

点评 本题主要考查了等腰直角三角形的性质和解直角三角形的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造等腰直角三角形．