Question

2．如果一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根为x₁、x₂，那么就有：x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$；人们称之为韦达定理，即根与系数的关系．
如：2x²+2x-5=0的两根为x₁、x₂，则x₁+x₂=-1，x₁•x₂=-$\frac{5}{2}$．
（1）如果方程2x²-mx+n=0的两根为x₁、x₂，且满足x₁+x₂=2，x₁•x₂=-$\frac{1}{2}$，则m=4，n=-1；
（2）已知a、b是关于x的方程x²-（k-2）x+k²+3k-5=0的两实根，求a²+b²的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据根与系数的关系来求m、n的值即可；
（2）利用根与系数的关系和完全平方公式的变形进行解答．

解答 解：（1）∵x₁+x₂=2，x₁•x₂=-$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{m}{2}$=2，$\frac{n}{2}$=-$\frac{1}{2}$，
解得m=4，n=-1；
故答案是：4；-1；

（2）∵a、b是关于x的方程x²-（k-2）x+k²+3k-5=0的两实根，
∴a+b=k-2，ab=k²+3k-5，
∴a²+b²=（a+b）²-2ab，
（k-2）²-2k²-6k+10，
=-（k+5）²+39≤39．
∴a²+b²的最大值是39．

点评 本题考查了根与系数的关系．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．