Question

如图已知有一块圆形铁皮，⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，连接AD、BC，OC，且BE=2，CD=12．
（1）求⊙O半径的长；
（2）若∠OCD=4∠BCD，求阴影部分的面积．（结果保留π）．

Answer 1

考点：垂径定理的应用,勾股定理,扇形面积的计算

专题：

分析：（1）先根据垂径定理得出CE=

1

2

CD=6，设半径为R，由BE=2，则OE=R-2求出OE的长，在Rt△OAE中利用勾股定理即可求出半径的长；
（2）由圆周角定理得出∠AOC=2∠ABC，根据OC=OB可知∠OCD+∠BCD=∠OBC，根据∠BCE+∠OBC=90°可求出∠OBC的度数，进而得出∠AOC的度数，再根据扇形的面积公式进行解答即可．

解答：解：（1）∵⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，
∴CE=

1

2

CD=6，∠OEC=90°，
设半径为R，
∵BE=2，
∴OE=R-2，
在Rt△OCE中，OC²=OE²+CE²，即R²=（R-2）²+6²，解得R=10，
∴⊙O半径的长为10；

（2）∵OC=OB，
∴∠OCD+∠BCD=∠OBC，
∵∠BCE+∠OBC=90°，即6∠BCE=90°，
∴∠BCE=15°，
∴∠OBC=90°-15°=75°，
∴∠AOC=2∠OBC=2×75°=150°，
∴S_阴影=

150π×102

360

=

125π

3

．

点评：本题考查的是扇形面积的计算，垂径定理及圆周角定理，直角三角形的性质，熟知以上知识是解答此题的关键．