Question

19．如图，AB、BC分别是⊙O的直径和弦，点D为$\widehat{BC}$上一点，弦DE交⊙O于点E，交AB于点F，交BC于点G，过点C的切线交ED的延长线于H，且HC=HG，连接BH，交⊙O于点M，连接MD、ME、BE．求证：
①∠BED=∠HMD；
②DE⊥AB；
③∠HMD=∠MHE+∠MEH．

Answer 1

分析 ①直接利用圆内接四边形的性质得出∠DMB+∠BMD=180°，进而得出答案；
②连接OC，利用切线的性质，进而证明∠BFG=∠OCH=90°即可得出答案；
③利用圆内接四边形的性质，结合三角形外角的性质，证明∠HMD=∠DEB=∠EMB即可．

解答 证明：①∵四边形DEBM是⊙O的内接四边形，
∴∠DMB+∠BMD=180°，
∵∠HMD+∠BMD=180°，
∴∠BED=∠HMD；

②连接OC，
∵HC=HG，
∴∠HCG=∠HGC；
∵HC切⊙O于C点，
∴∠OCB+∠HCG=90°；
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC，
∵∠HGC=∠BGF，
∴∠OBC+∠BGF=90°，
∴∠BFG=90°，即DE⊥AB；

③由②知DE⊥AB，
∵AB是⊙O的直径，
∴$\widehat{BD}$=$\widehat{BE}$，
∴∠BED=∠BME；
∵四边形BMDE内接于⊙O，
∴∠HMD=∠BED，
∴∠HMD=∠BME；
∵∠BME是△HEM的外角，
∴∠BME=∠MHE+∠MEH，
∴∠HMD=∠MHE+∠MEH．

点评 此题主要考查了切线的性质、三角形的内角和外角的性质、等腰三角形的性质、内接四边形的性质等知识，熟练应用圆内接四边形的性质是解题关键．