Question

【题目】如图①所示，ABCD是某公园的平面示意图，A、B、C、D分别是该公园的四个入口，两条主干道AC、BD交于点O，经测量AB=0.5km，AC=1.2km，BD=1km，请你帮助公园的管理人员解决以下问题：

（1）公园的面积为　　　　km2；

（2）如图②，公园管理人员在参观了武汉东湖绿道后，为提升游客游览的体验感，准备修建三条绿道AN、MN、CM，其中点M在OB上，点N在OD上，且BM=ON（点M与点O、B不重合），并计划在△AON与△COM两块绿地所在区域种植郁金香，求种植郁金香区域的面积；

（3）若修建（2）中的绿道每千米费用为10万元，请你计算该公园修建这三条绿道投入资金的最小值．

Answer 1

【答案】（1）0.48；（2）0.12km2；（3）（+5）万元．

【解析】

（1）过点B作BE⊥OA于点E，由平行四边形的性质得出AB=BO=0.5km，AO=0.6km，运用勾股定理求出BE的长，再运用三角形面积公式求出△AOB的面积，再乘以4即可得解；

（2）连接AM、CN，得出S△AMN=SABCD，由平行四边形ABCD的面积为0.48km2可得结果；

（3）将AN沿MN向下平移0.5km至PM，连接PC交BD于点M'，此时点N位于N'处，此时即为AN+CM=PC取最小值，过M作MG⊥AC于点G，证明四边形APM'N'和四边形AM'CN'均为平行四边形，得到PC=2M'C，求出MC=可得PC的值， 从而得AN、MN、CM和的最小值为：（+0.5）km，再乘以每千米的费用即可得到答案.

∵四边形ABCD是平行四边形，AC=1.2km，BD=1km，

∴OA=OC=AC=0.6km，OB=OD=BD=0.5km，

∴在△AOB中，过点B作BE⊥OA于点E，如图：

∵AB=OB=0.5km，OA=0.6km，BE⊥OA，

∴AE=OA=0.3km，

∴BE==0.4km，

∴S△AOB=OABE=×0.6×0.4=0.12km2，

∴SABCD=4S△AOB=4×0.12=0.48km2；

∴公园的面积为0.48km2．

故答案为：0.48．

（2）连接AM、CN，如图：

∵在△ACM中，OA=OC，

∴S△COM=S△AOM，

∴S△AON+S△COM=S△AON+S△AOM=S△AMN．

∵OB=BM+MO，BM=ON，OB=OD=BD，

∴MN=MO+ON=OB=BD，

∴S△AMN=SABCD=0.12km2，

∴S△AON+S△COM=S△AMN=0.12km2，

∴种植郁金香区域的面积为0.12km2．

（3）将AN沿MN向下平移0.5km至PM，连接PC交BD于点M'，此时点N位于N'处，此时即为AN+CM=PC取最小值，过M'作M'G⊥AC于点G，如图：

∵MN=BD=0.5km，AP∥M'N'，AN'∥PC，

∴OM'为△APC的中位线，

∴OM'=AP=M'N'=ON'=km，

∴四边形APM'N'和四边形AM'CN'均为平行四边形，

∴PC=2M'C，

由图①及BE=0.4km，OB=0.5km可知，sin∠BOA=，cos∠BOA=，

∴，，

∴，

∴，

∴在Rt△M'GC中，由勾股定理得：，

∴PC=km，

∴AN、MN、CM和的最小值为：（+0.5）km，

∴投入资金的最小值为：10×（+0.5）=（+5）（万元）．