Question

如图，直线与x轴、y轴交于A、B两点，M是直线AB上的一个动点，MC⊥x轴于C，MD⊥y轴于D，若点M的横坐标为a．
（1）当点M在线段AB上运动时，用a的代数式表示四边形OCMD的周长；
（2）在（1）的条件下，求四边形OCMD面积的最大值；
（3）以M为圆心MD为半径的⊙M与以A为圆心AC为半径的⊙A相切时，求a的值．

Answer 1

解：（1）∵MC⊥x轴，MD⊥y轴，
∴四边形OCMD是矩形，
∵点M的横坐标为a，M是直线AB上的一个动点，
∴y=-a+6，
∴MD=OC=a，MC=OD=-a+6，
∴四边形OCMD的周长为：MD+OC+MC+OD=2[a+（-a+6）]=a+12；

（2）∵S_{四边形OCMD}=MD•MC=a×（-a+6）=-a²+6a=-（a²-8a）=-（a-4）²+12，
∴当a=4时，S_{四边形OCMD}最大，最大值为12，
即四边形OCMD面积的最大值为12；

（3）∵以M为圆心MD为半径的⊙M与以A为圆心AC为半径的⊙A相切，
∴AM=MD+AC，
∵直线y=-x+6交x轴于点A，
∴点A的坐标为：（8，0），
∴OA=8，
∵MD=OC=a，
∴AC=8-a，
∴AM=a+8-a=8，
在Rt△ACM中，AM²=AC²+MC²，
即8²=（8-a）²+（-a+6）²，
∴25a²-400a+576=0，
∴（5a-72）（5a-8）=0，
解得：a=＞8（舍去），a=，
∴a的值为：．
分析：（1）由MC⊥x轴于C，MD⊥y轴于D，易得四边形OCMD是矩形，又由点M的横坐标为a，M是直线AB上的一个动点，即可求得MC的值，则可求得四边形OCMD的周长；
（2）由MD=a，MC=-a+6，即可得四边形OCMD面积为：-（a-4）²+12，则可求得四边形OCMD面积的最大值；
（3）由以M为圆心MD为半径的⊙M与以A为圆心AC为半径的⊙A相切，可得AM=MD+AC，则可得AC=8-a，AM=8，又由勾股定理，即可得方程：8²=（8-a）²+（-a+6）²，解此方程即可求得答案．
点评：此题考查了矩形的性质、点与一次函数的关系、二次函数的最值问题、圆与圆的位置关系以及勾股定理等知识．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．