Question

7．圆O₁、圆O₂相交于M、N，点D是NM延长线上一点，O₁O₂延长线交圆O₁于B、A，AD交圆O₁于C，MN交O₁O₂于E，交BC于G，求证：EM²=ED•EG．

Answer 1

分析 首先根据两圆的连心线垂直平分公共弦，可知O₁O₂⊥MN，且ME=NE，结合相交弦定理得ME²=AE•BE，然后再证明△BGE∽△DAE，由相似三角形的性质可得到AE•BE=EG•DE，从而可证得ME²=DE•EG．

解答 解：∵O₁O₂是两圆的连心线，MN是公共弦，
∴O₁O₂⊥MN，且ME=NE．
由相交弦定理可知：AE•BE=ME•NE，
又∵ME=NE，
∴ME²=AE•BE．
∵AB是⊙O₁的直径，
∴∠ACB=90°
∴∠CAB+∠ABC=90°．
∵AB⊥DE，
∴∠EAD+∠D=90°
∴∠D=∠EBG．
在△BGE和△DAE中，∠D=∠EBG，∠GEB=∠DEA=90°
∴△BGE∽△DAE．
∴$\frac{EG}{AE}=\frac{EB}{DE}$．
∴AE•BE=EG•DE．
∴ME²=DE•EG．

点评 本题主要考查的是相交弦定理和相似三角形的性质和判定，证得ME²=AE•BE，AE•BE=EG•DE是解题的关键．