Question

16．已知关于x、y的方程组$\left\{\begin{array}{l}{2x-4y=-{a}^{2}+6a+6}\\{x-y=2a+2}\end{array}\right.$．
（1）当a满足2^2a+3-2^2a+1=96时，求方程组的解；
（2）当程组的解满足x+y=16时，求a的值；
（3）试说明：不论a取什么实数，x的值始终为正数．

Answer 1

分析 （1）先由2^2a+3-2^2a+1=96得a=2，再解方程组$\left\{\begin{array}{l}{2x-4y=14}\\{x-y=6}\end{array}\right.$，即可得出方程组的解；
（2）先根据方程组$\left\{\begin{array}{l}{x+y=16}\\{x-y=2a+2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=a+9}\\{y=-a+7}\end{array}\right.$，再代入2x-4y=-a²+6a+6，可得2（a+9）-4（-a+7）=-a²+6a+6，进而得出a的值；
（3）先把$\left\{\begin{array}{l}{2x-4y=-{a}^{2}+6a+6}\\{x-y=2a+2}\end{array}\right.$消去y，可得x=$\frac{1}{2}$a²+a+1，再进行配方，即可得出不论a取什么实数，x的值始终为正数．

解答 解：（1）由2^2a+3-2^2a+1=96得
2^2a+1（4-1）=96，
∴2^2a+1=32，
∴a=2，
当a=2时，方程组为$\left\{\begin{array}{l}{2x-4y=14}\\{x-y=6}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=-1}\end{array}\right.$；   

（2）由题可得方程组$\left\{\begin{array}{l}{x+y=16}\\{x-y=2a+2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=a+9}\\{y=-a+7}\end{array}\right.$，
把$\left\{\begin{array}{l}{x=a+9}\\{y=-a+7}\end{array}\right.$  代入2x-4y=-a²+6a+6，可得
2（a+9）-4（-a+7）=-a²+6a+6，
解得a=±4；    

（3）把$\left\{\begin{array}{l}{2x-4y=-{a}^{2}+6a+6}\\{x-y=2a+2}\end{array}\right.$消去y，可得
x=$\frac{1}{2}$a²+a+1，
由配方得x=$\frac{1}{2}$（a+1）²+$\frac{1}{2}$，
∵不论a取什么实数，$\frac{1}{2}$（a+1）²都为非负数，
∴不论a取什么实数，$\frac{1}{2}$（a+1）²+$\frac{1}{2}$都为正数．

点评 本题主要考查了二元一次方程组的解，以及解一元二次方程的方法，解决问题的关键是掌握二元一次方程组的解法．解题时注意配方的运用，任意一个实数的平方都是非负数．