Question

如图，在正方形ABCD中，E是CD边的中点，AC与BE相交于点F，连接DF．
（1）求证：∠1=∠2；
（2）连接AE，试判断AE与DF的位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAF=∠BAF=45°，
在△ADF与△ABF中，

AD=AB ∠DAF=∠BAF AF=AF

，
∴△ADF≌△ABF（SAS），
∴∠1=∠2；

（2）如图：AE⊥DF．
设AE与DF相交于点H，
∵四边形ABCD是正方形，E是DC的中点，
∴△ADE≌△BCE（SAS），
∴∠3=∠4，
又∵∠1=∠2（已证），
∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°，
∴∠AHD=90°，
∴AE⊥DF．