Question

12．如图，已知O是等边三角形ABC内一点，D是线段BO延长线上一点，且OD=OA，∠AOB=120°，那么∠BDC=60度．

Answer 1

分析 由△ABC为等边三角形可得出AB=AC、∠BAC=60°，由∠AOB的度数利用邻补角互补可得出∠AOD=60°，结合OD=OA可得出△AOD为等边三角形，根据等边三角形的性质可得出AO=AD、∠OAD=60°，根据∠BAO+∠OAC=∠OAC+∠CAD=60°可得出∠BAO=∠CAD，利用全等三角形的判定定理SAS可证出△BAO≌△CAD，根据全等三角形的性质可得出∠ADC的度数，再根据∠BDC=∠ADC-∠ADO即可求出∠BDC的度数．

解答 解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°．
∵∠AOB=120°，∠AOD+∠AOB=180°，
∴∠AOD=60°．
又∵OD=OA，
∴△AOD为等边三角形，
∴AO=AD，∠OAD=60°，∠ADO=60°．
∵∠BAO+∠OAC=∠OAC+∠CAD=60°，
∴∠BAO=∠CAD．
在△BAO和△CAD中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAO=∠CAD}\\{AO=AD}\end{array}\right.$，
∴△BAO≌△CAD（SAS），
∴∠ADC=∠AOB=120°，
∴∠BDC=∠ADC-∠ADO=60°．
故答案为：60．

点评 本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及角的计算，通过证明△BAO≌△CAD，找出∠ADC=∠AOB=120°是解题的关键．