Question

11．观察下列各式，并解答问题；
①$\frac{1}{2+\sqrt{2}}$=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$；②$\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$；③$\frac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$-$\frac{\sqrt{4}}{4}$；④$\frac{1}{5\sqrt{4}+4\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{4}}{4}$-$\frac{\sqrt{5}}{5}$
若n为正整数，用含n的等式来表示你探索的规律．

Answer 1

分析 观察规律后利用规律即可解决问题．

解答 解：根据观察可知：$\frac{1}{（n+1）\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}$=$\frac{\sqrt{n}}{n}$-$\frac{\sqrt{n+1}}{n+1}$．
证明：左边=$\frac{（n+1）\sqrt{n}-n\sqrt{n+1}}{（n+1）^{2}n-{n}^{2}（n+1）}$=$\frac{（n+1）\sqrt{n}-n\sqrt{n+1}}{n（n+1）}$=$\frac{\sqrt{n}}{n}$-$\frac{\sqrt{n+1}}{n+1}$=右边，
故等式成立．

点评 本题考查二次根式的混合运算法则、分母有理化等知识，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．