Question

13．如图，直线y=-2x+3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）若x轴上有一点P，且使△ABP为等腰三角形，试求出所点P的坐标．
（3）若点P在坐标轴上，且使△ABP为以AB为腰的等腰三角形，请直接写出存在的所有P点坐标．

Answer 1

分析 （1）把x=0，y=0分别代入函数解析式，即可求得相应的y、x的值，则易得点A、B的坐标；
（2）根据等腰三角形的判定，分两种情况讨论即可求得．
（3）根据（2）求得的AB值，结合A、B的坐标即可求得．

解答 解：（1）由x=0得：y=3，即：B（0，3）．
由y=0得：-2x+3=0，解得：x=$\frac{3}{2}$，即：A（$\frac{3}{2}$，0）；

（2）∵A（$\frac{3}{2}$，0），B（0，3）．
∴AB=$\sqrt{{3}^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
当AB为腰长时，P的坐标为（-$\frac{3}{2}$，0）或（$\frac{3+3\sqrt{5}}{2}$，0）或（$\frac{3-3\sqrt{5}}{2}$，0）
当AB为底时，则AP=BP，设P（x，0）
则AP=$\frac{3}{2}$-x，
故在Rt△BOP中，
BO ²+OP²=BP ²，
即3²+x²=（$\frac{3}{2}$-x）²，
解得：x=-$\frac{9}{4}$，
故P′点坐标为（-$\frac{9}{4}$，0）．
故P的坐标为：（-$\frac{3}{2}$，0）或（$\frac{3+3\sqrt{5}}{2}$，0）或（-$\frac{9}{4}$，0）或（$\frac{3-3\sqrt{5}}{2}$，0）；

（3）若点P在坐标轴上，且使△ABP为以AB为腰的等腰三角形，P点的坐标为：（-$\frac{3}{2}$，0）或（$\frac{3+3\sqrt{5}}{2}$，0）或（$\frac{3-3\sqrt{5}}{2}$，0）或（0，$\frac{6+3\sqrt{5}}{2}$）或（0，-3）或（0，$\frac{6-3\sqrt{5}}{2}$）．

点评 本题考查一次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的判定，两边相等的三角形是等腰三角形，以及坐标与图形的性质，分类讨论思想的运用是解题的关键．