Question

18．如图，已知抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c图象经过A（-1，0），B（4，0）两点．
（1）求b，c的值；
（2）若C（m，1-m）是抛物线上位于第四象限内的点，D是线段AB上 的一个动点（不与A，B点重合），过点D分别作DE∥BC交AC于E，DF∥AC交BC于F．
①求证：四边形DECF是矩形；
②连接EF，则线段EF的最小值为2．

Answer 1

分析 （1）因为抛物线与x轴交于（-1，0）（4，0），可以假设y=a（x+1）（x-4），由题意a=-$\frac{1}{2}$代入整理即可求出b、c．
（2）①利用待定系数法思想求出点C坐标，利用勾股定理的逆定理证明∠ACB=90°，由此即可解决问题．
②由四边形BECF是矩形，推出EF=CD，要求EF的最小值，即求CD的最小值，CD⊥AB时，CD最小，由此即可解决问题．

解答 （1）解：因为抛物线与x轴交于（-1，0）（4，0），可以假设y=a（x+1）（x-4）
∵a=$\frac{1}{2}$，
∴y=$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4）=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2
∴b=-$\frac{3}{2}$，c=-2．
（2）①证明：把C（m，1-m）代入y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2得1-m=$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m-2，
∴m₁=-2     m₂=3，
∵C在第四象限，
∴m=3，
∴c（3，-2），
∵BC∥DE   DF∥AC，
∴四边形DECF是平行四边形，
∵AB²=25   AC²=20   BC²=5
∴AB²=AC²+BC²，
∴∠ACB=90°，
∴四边形BECF是矩形．

②解：∵四边形BECF是矩形，
∴EF=CD，
要求EF的最小值，即求CD的最小值，
当CD⊥AB时，CD最小，
此时∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$•AC•BC=$\frac{1}{2}$•AB•CD，
∴CD=$\frac{AC•CB}{AB}$=$\frac{2\sqrt{5}•\sqrt{5}}{5}$=2．
故答案为2

点评 本题考查二次函数综合题、平行四边形的判定和性质、矩形的判定和性质、勾股定理的逆定理、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用垂线段最短解决最值问题，属于中考压轴题．