Question

已知，如图，抛物线与轴交于点C，与轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（1，0），OC＝3OB.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；

（3）若点E在轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）；（2）；（3）有三个，坐标为：，，．

【解析】

试题分析：（1）已知了B点坐标，易求得OB、OC的长，进而可将B、C的坐标代入抛物线中，求出待定系数的值，即可得出抛物线的解析式．

（2）根据A、C的坐标，易求得直线AC的解析式．由于AB、OC都是定值，则△ABC的面积不变，若四边形ABCD面积最大，则△ADC的面积最大；可过D作x轴的垂线，交AC于M，x轴于N；易得△ADC的面积是DM与OA积的一半，可设出N点的坐标，分别代入直线AC和抛物线的解析式中，即可求出DM的长，进而可得出四边形ABCD的面积与N点横坐标间的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出四边形ABCD的最大面积．

（3）本题应分情况讨论：①过C作x轴的平行线，与抛物线的交点符合P点的要求，此时P、C的纵坐标相同，代入抛物线的解析式中即可求出P点坐标；

②将AC平移，令C点落在x轴（即E点）、A点落在抛物线（即P点）上；可根据平行四边形的性质，得出P点纵坐标（P、C纵坐标的绝对值相等），代入抛物线的解析式中即可求得P点坐标．

试题解析：（1）∵B（1，0），∴OB=1；

∵OC=3BO，∴C（0，﹣3）；

∵过B（1，0）、C（0，﹣3），

∴；解这个方程组，得：，

∴抛物线的解析式为：．

（2）过点D作DM∥y轴分别交线段AC和x轴于点M、N，

在中，令，得方程，

解这个方程，得，，∴A（﹣4，0），

设直线AC的解析式为，

∴，解这个方程组，得：，

∴AC的解析式为：，

∵S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC

=

设D（），M（），

DM=，

当时，DM有最大值3，

此时四边形ABCD面积有最大值．

（3）如图所示，

①过点C作CP1∥x轴交抛物线于点P1，过点P1作P1E1∥AC交x轴于点E1，此时四边形ACP1E1为平行四边形，

∵C（0，﹣3）

∴设P1（x，﹣3），∴，解得，，∴P1（﹣3，﹣3）；

②平移直线AC交x轴于点E，交x轴上方的抛物线于点P，当AC=PE时，四边形ACEP为平行四边形，

∵C（0，﹣3），∴设P（x，3），∴，，

解得或，

此时存在点和．

综上所述存在3个点符合题意，坐标分别是P1（﹣3，﹣3），，．

考点：二次函数综合题．