Question

11．已知方程x²+（k+1）x+k=0的两根平方和是5，则k=±2．

Answer 1

分析 设方程两根分别为a、b，根据根与系数的关系得到a+b=-（k+1），ab=k，再利用完全平方公式把a²+b²=5变形得到（a+b）²-2ab=5，则[-（k+1）]²-2•k=5，求出k的值，再利用判别式确定满足条件的k的值．

解答 解：设方程两根分别为a、b，根据题意得：
a+b=-9（k+1），ab=k，
∵a²+b²=5，
∴（a+b）²-2ab=5，
∴[-（k+1）]²-2•k=5，
整理得k²=4，
解得k₁=-2，k₂=2，
当k=-2时，原方程变形为x²-x-2=0，△＞0，方程有两个不相等的实数解；
当k=2时，原方程变形为x²+3x+2=0，△＞0，方程有两个不相等的实数解；
∴k的值为±2．
故答案为：±2．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．