Question

6．已知线段AB=8，点C，D在线段AB上，AC=BD=1，P是线段CD上一动点，分别以AP，BP为边在AB的同侧作正△APE和△BPF，求△PEF的外接圆半径的最大值．

Answer 1

分析 由题干我们能得到的已知条件有∠EPF=60°，故∠EOF=120°，外接圆半径EO恒等于$\frac{\sqrt{3}}{3}$EF；求外接圆半径的最大值等同于求EF的最大值．

解答 解：如图，过F作FH垂直于AB，垂足为H，过E分别作EG垂直AB，EM垂直FH，垂足为G、M，
设AP=x（1≤x≤7），则 PB=8-x，FM=（$\frac{（8-x）\sqrt{3}}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}x$ ），EM=GH=4，
由勾股定理得：EF²=FM²+EM²，
∴EF=$\sqrt{16+3（4-x）^{{2}^{\;}}}$=$\sqrt{3{x}^{2}-24x+64}$，（1≤x≤7）
∵∠EPF=60°
∴∠EOF=120°，
又∵EO=OF，
∴△PEF的外接圆半径EO等于$\frac{\sqrt{3}}{3}$EF，
当x=1或7时，EF取得最大值为$\sqrt{43}$，此时EO=$\frac{\sqrt{129}}{3}$，
当x=4时，取得最小值为4，此时EO=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
故△PEF的外接圆半径的最大值为：$\frac{\sqrt{129}}{3}$．

点评 本题主要考查了三角形的外心，熟悉等边三角形的性质和勾股定理的应用是解题的关键．