题目内容
【题目】如图1，抛物线
经过点
、
两点，
是其顶点，将抛物线
绕点
旋转
，得到新的抛物线
．
（1）求抛物线的函数解析式及顶点的坐标；
（2）如图2，直线
经过点
，
是抛物线上的一点，设点的横坐标为
（
），连接
并延长，交抛物线于点
，交直线l于点
，
，求的值；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接
、
，在直线
下方的抛物线上是否存在点
，使得
？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
，顶点为：
；（2）
的值为﹣3；（3）存在，点
的横坐标为：
或
．
【解析】
（1）运用待定系数法将
、
代入
中，即可求得
和
的值和抛物线
解析式，再利用配方法将抛物线解析式化为顶点式即可求得顶点
的坐标；
（2）根据抛物线绕点
旋转
，可求得新抛物线
的解析式，再将代入
中，即可求得直线
解析式，根据对称性可得点
坐标，过点
作
轴交直线于
，过作
轴交直线于
，由
，即可得
，再证明
∽
，即可得
，建立方程求解即可；
（3）连接
，易证
是
，
，可得
，在
轴下方过点作
，在
上截取
，过点作
轴于
，连接
交抛物线于点，点即为所求的点；通过建立方程组求解即可．
（1）将、代入中，得
解得
∴抛物线解析式为：，
配方，得：
，∴顶点为：；
（2）∵抛物线绕点旋转，得到新的抛物线．
∴新抛物线的顶点为：
，二次项系数为：
∴新抛物线的解析式为：
将代入中，得
，解得
，
∴直线解析式为
，
∵
，
∴直线
的解析式为
，
由抛物线与抛物线关于原点对称，可得点、V关于原点对称，
∴
如图2，过点作轴交直线于，过作轴交直线于，
则
，
，
∴
，
，
∵
∴，
∵轴，轴
∴
∴∽
∴
，即
∴
解得：
，
，
∵
∴的值为：﹣3；
（3）由（2）知：
，
∴
，
，
，
如图3，连接，在中，∵
，
，
∴
∴是直角三角形，，
∴
，
∵
∴，
在轴下方过点作，在上截取，
过点作轴于，连接交抛物线于点，点即为所求的点；
∵，
∴
∵
∴
∴
，设直线解析式为
，
则
，解得
∴直线解析式为
，
解方程组
，得
，
，
∴点的横坐标为：或．
