Question

11．如图，已知△ABC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E为$\widehat{AD}$的中点，连结CE交AB于点F，且BF=BC．
（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为2，sinB=$\frac{4}{5}$，求CE的长．

Answer 1

分析 （1）连接AE，求出∠EAD+∠AFE=90°，推出∠BCE=∠BFC，∠EAD=∠ACE，求出∠BCE+∠ACE=90°，根据切线的判定推出即可．
（2）根据AC=4，sinB=$\frac{4}{5}$=$\frac{AC}{AB}$，求出AB=5，BC=3，BF=3，AF=2，根据∠EAD=∠ACE，∠E=∠E证△AEF∽△CEA，推出EC=2EA，设EA=x，EC=2x，由勾股定理得出x²+4x²=16，求出即可．

解答 （1）BC与⊙O相切
证明：连接AE，
∵AC是⊙O的直径
∴∠E=90°，
∴∠EAD+∠AFE=90°，
∵BF=BC，
∴∠BCE=∠BFC，
∵E为弧AD中点，
∴∠EAD=∠ACE，
∴∠BCE+∠ACE=90°，
∴AC⊥BC，
∵AC为直径，
∴BC是⊙O的切线．

（2）解：∵⊙O的半为2
∴AC=4，
∵sinB=$\frac{4}{5}$=$\frac{AC}{AB}$，
∴AB=5，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=3，
∵BF=BC，
∴BF=3，AF=5-3=2，
∵∠EAD=∠ACE，∠E=∠E，
∴△AEF∽△CEA，
∴$\frac{EA}{EC}$=$\frac{AF}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
∴EC=2EA，
设EA=x，EC=2x，
由勾股定理得：x²+4x²=16，
x=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$（负数舍去），
即CE=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．