Question

已知关于x的一元二次方程x²-（2m+1）x+m²+m=0的两根为x₁，x₂（x₁＜x₂）请问是否存在实数k，使得2x₁-3x₂=m²-k成立．若存在，求k的范围，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：根与系数的关系,根的判别式

专题：计算题

分析：先利用求根公式求出x₁=m，x₂=m+1，则2m-3（m+1）=m²-k，整理得m²+m+3-k=0，当此一元二次方程有实数解时，2x₁-3x₂=m²-k成立，根据判别式的意义得到△′=1-4（3-k）≥0，然后解不等式即可．

解答：解：根据题意得△=（2m+1）²-4（m²+m）=1，
x=

2m+1±1

2

，
解得x₁=m，x₂=m+1，
∵2x₁-3x₂=m²-k，
∴2m-3（m+1）=m²-k，
整理得m²+m+3-k=0，
△′=1-4（3-k）≥0，
解得k≥

11

4

，
即当k≥

11

4

时，使得2x₁-3x₂=m²-k成立．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x₁，x₂，则x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．也考查了根的判别式．