Question

已知等边△ABC的边长为3个单位，若点P由A出发，以每秒1个单位的速度在三角形的边上沿A→B→C→A方向运动，第一次回到点A处停止运动，设AP=S，用t表示运动时间．
（1）当点P由B到C运动的过程中，用t表示S；
（2）当t取何值时，S等于（求出所有的t值）；
（3）根据（2）中t的取值，直接写出在哪些时段AP？

Answer 1

【答案】分析：（1）用t表示出PB的长，利用余弦定理即可表示出AP的长；
（2）令S等与，建立关于t的方程，解答即可；
（3）利用（2）中所求，即可得出AP时t的取值．
解答：解：（1）∵AB=3，BP=t-3；
∴AP²=3²+（t-3）²-2×3•（t-3）•cos60°
=9+9-6t+t²-6（t-3）×
=18-6t+t²+9-3t
=t²-9t+27，
∴S=．

（2）当t在BC上时，
∵S=，
∴t²-9t+27=7，
解得t₁=4，t₂=5；
当p在AB上时，t=；
当p在CA上时，t=9-．
当点P在BC上时，由（2）∵S=开口向上，
与S=交点横坐标为t₁=4，t₂=5；
综上所述：t=4或t=5或或9-；

（3）根据（2）可知：0≤t＜；4＜t＜5；9-＜t≤9；
这三个时间段内S＜．
点评：本题考查了等边三角形的性质、余弦定理、一元二次方程与二次函数之间的关系，难度较大，会解一元二次方程是解题的关键．