如图.二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A.B两点.且A点坐标为.经过B点的直线交抛物线于点D．(1)求抛物线的解析式作直线EF∥BD.交抛物线于点F.是否存在实数a使四边形BDFE是平行四边形?如果存在.求出满足条件的a,如果不存在.请说明理由．(3)在二次函数上有一动点P.过点P作PM⊥x轴交线段BD于点M.判断PM有最大值还是有最小值.如有.求出线� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

20．如图，二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，且A点坐标为（-3，0），经过B点的直线交抛物线于点D（-2，-3）．
（1）求抛物线的解析式
（2）过x轴上点E（a，0）（E点在B点的右侧）作直线EF∥BD，交抛物线于点F，是否存在实数a使四边形BDFE是平行四边形？如果存在，求出满足条件的a；如果不存在，请说明理由．
（3）在二次函数上有一动点P，过点P作PM⊥x轴交线段BD于点M，判断PM有最大值还是有最小值，如有，求出线段PM长度的最大值或最小值．

分析（1）把A、D两点的坐标代入二次函数解析式可得二次函数解析式中b，c的值；
（2）让二次函数的y等于0求得抛物线与x轴的交点B，把B、D两点代入一次函数解析式可得直线BD的解析式；得到用a表示的EF的解析式，跟二次函数解析式组成方程组，得到含y的一元二次方程，进而根据y=-3求得合适的a的值即可；
（3）根据抛物线的解析式和直线的解析式，设出P、M的坐标，根据题意列出PM=|m²+2m-3-（m-1）|=|m²+m-2|=|（m+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{9}{4}$|，即可求得．

解答解：（1）将A（-3，0），D（-2，-3）的坐标代入y=x²+bx+c得，
$\left\{\begin{array}{l}{9-3b+c=0}\\{4-2b+c=-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
则该抛物线的解析式为：y=x²+2x-3．

（2）如图1，由（1）知，抛物线的解析式为：y=x²+2x-3．
令y=0，则x²+2x-3=0，
得：x₁=-3，x₂=1，
∴B的坐标是（1，0），
设直线BD的解析式为y=kx+b（k≠0），则
$\left\{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{-2k+b=-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴直线BD的解析式为y=x-1．
又∵EF∥BD，
∴直线EF的解析式为：y=x-a，
若四边形BDFE是平行四边形，
则DF∥x轴，
∴D、F两点的纵坐标相等，即点F的纵坐标为-3．
由$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}+2x-3}\\{y=x-a}\end{array}\right.$，得
由y=x-a得，x=y+a，代入方程y=x²+2x-3得，
y²+（2a+1）y+a²+2a-3=0，
解得：y=$\frac{-（2a+1）±\sqrt{13-4a}}{2}$．
令$\frac{-（2a+1）±\sqrt{13-4a}}{2}$=-3，
解得：a₁=1，a₂=3．
当a=1时，E点的坐标（1，0），这与B点重合，舍去；
∴当a=3时，E点的坐标（3，0），符合题意．
∴存在实数a=3，使四边形BDFE是平行四边形．

（3）设M（m，m-1），则P（m，m²+2m-3），
∴PM=|m²+2m-3-（m-1）|=|m²+m-2|=|（m+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{9}{4}$|，
∴当m=-$\frac{1}{2}$时，PM有最大值，最大值为$\frac{9}{4}$，
此时P（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$），
∴点P坐标为（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）时，线段PE长度有最大值，最大值是$\frac{9}{4}$．